核心概念：展開 (Expansion) vs 因式分解 (Factorization)
這兩個動作就像是數學裡的「砌積木」和「拆積木」，互為逆運算！
$(x+2)(x-2)$
因式 (Factors)
$x^2 - 4$
展開式 (Expanded form)
🧠 圖解：完全平方恆等式
為什麼 $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$？看圖秒懂！
$(a+b)^2 \equiv a^2 + 2ab + b^2$
整個大正方形面積 = $(a+b) \times (a+b)$
它由一個 $a^2$、一個 $b^2$ 和 兩個 $ab$ 組成！
⚠️ 常見考點與陷阱
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陷阱 1：平方差看錯
$y^2 - 81$ (Mock Q5) $\rightarrow$ 記得 $81$ 是 $9^2$！
答案是 $(y+9)(y-9)$，不要寫成 $(y-81)(y+81)$。 -
陷阱 2：忘記抽公因式
$9a^3b + 27ab - 18ab^2$ (Mock Q11a)
數字 $9, 27, -18$ 的 H.C.F 是 $9$。
字母 $a^3b, ab, ab^2$ 的 H.C.F 是 $ab$ (選次方最小的)。
✅ 必須先抽 $9ab$：$= 9ab(a^2 + 3 - 2b)$ -
💡 記憶輔助：判斷恆等式 (Identity)
Mock Q10 問 $(a-9)(a+3) = a^2+6a-27$ 是否恆等式？
技巧：把它分成 L.H.S (左方) 和 R.H.S (右方) 分別計。
L.H.S 展開後是 $a^2-6a-27$，與 R.H.S 符號不同，所以 Not an identity。
📝 Step-by-Step 實戰解題 (Mock Q11c & Q17b)
題型 1：隱藏的完全平方 (Mock Q11c)
2 marksFactorize (因式分解): $$25x^2 - 70xy + 49y^2$$
找出頭尾是否能寫成某數的平方：
- $25x^2 = (5x)^2$
- $49y^2 = (7y)^2$
$= (5x)^2 - 70xy + (7y)^2$
檢查中間的 $-70xy$ 是否等於 $-2(5x)(7y)$：
$-2 \times 5 \times 7 = -70$ (完全吻合！)
$= (5x)^2 - 2(5x)(7y) + (7y)^2$
套用公式 $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$，這裡 $a=5x, b=7y$：
$= (5x - 7y)^2$
題型 2：代入法展開 (Mock Q17b)
2 marksGiven (a) result: $(a+1)(a-1) = a^2 - 1$
Hence, expand: $$(3x - 4y + 1)(3x - 4y - 1)$$
觀察題目，發現括號內前面的 $(3x-4y)$ 是一樣的，後面是 $+1$ 和 $-1$。
技巧：Let (設) $a = 3x - 4y$。
這樣算式就變成了 $(a + 1)(a - 1)$，可以直接用 part (a) 的結果！
用 part (a) 結果：
原式 $= a^2 - 1$
把 $a$ 換回 $(3x-4y)$：
$= (3x - 4y)^2 - 1$
小心展開 $(3x - 4y)^2$ (使用完全平方公式)：
$= (3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2 - 1$
$= 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 1$
➗ 分式運算秘訣
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✖️➗ 乘除法：
「約分天下無敵」。先將分子分母因式分解，然後上下互相取消 (Cancel out)。除法記得「乘倒數」。
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➕➖ 加減法：
「必須通分母」。分母不同絕對不能直接加減分子！
留意 Mock Q16c：分母是 $(2x-y)$ 和 $(y-2x)$。
秘訣：$(y-2x) = -(2x-y)$。抽出負號就可以通分母！
🔀 主項變換 (Subject of Formula)
目標是把要找的字母（例如 $I$）「孤立」在等號的一邊，其他東西全踢去另一邊。
Mock Q15a: $V = 9 - 3I$, make $I$ the subject.
- 含有 $I$ 的是 $-3I$。移去左邊變正數更易計：$3I + V = 9$
- 把 $V$ 踢走：$3I = 9 - V$
- 把乘 $3$ 踢走變成除 $3$：
$I = \frac{9 - V}{3}$
📝 Step-by-Step 實戰解題 (Mock Q16b & Q16c)
題型 1：分式除法 (Mock Q16b)
3 marksSimplify (化簡): $$\frac{12n}{5m-10} \div \frac{6mn}{4m-8}$$
$$= \frac{12n}{5m-10} \times \frac{4m-8}{6mn}$$
不要心急直接乘！先找出括號裡的公因數：
- $5m-10 = 5(m-2)$
- $4m-8 = 4(m-2)$
$$= \frac{12n}{5(m-2)} \times \frac{4(m-2)}{6mn}$$
可以消去的東西：
- 上下都有 $(m-2)$，消去！
- 上下都有 $n$，消去！
- $12$ 和 $6$ 約分，上面變 $2$，下面變 $1$。
分子剩下：$2 \times 4 = 8$
分母剩下：$5 \times m = 5m$
$$= \frac{8}{5m}$$
題型 2：分式加減 (隱藏負號陷阱) (Mock Q16c)
3 marksSimplify (化簡): $$\frac{4x^2}{2x-y} + \frac{y^2}{y-2x}$$
留意 $(2x-y)$ 和 $(y-2x)$ 剛好相反。
我們知道 $y-2x = -(2x-y)$。
將第二項的分母變更，並把負號拉到中間：
$$= \frac{4x^2}{2x-y} - \frac{y^2}{2x-y}$$
分母相同了，分子可以直接相減：
$$= \frac{4x^2 - y^2}{2x-y}$$
⚠️ 注意：還未做完！看看分子，是不是似曾相識？
分子 $4x^2 - y^2$ 是「平方差」 $(2x)^2 - y^2$！
$= \frac{(2x+y)(2x-y)}{2x-y}$
現在上下都有 $(2x-y)$，可以約去：
$= 2x + y$
基礎幾何必備武器庫
Mock Paper 裡的幾何題主要考這幾個概念，寫 Steps 時必須寫明理由 (Reasons)！
三角形內角和
$\angle$ sum of $\Delta$ ($=180^\circ$)
等腰三角形底角
base $\angle$s, isos. $\Delta$
錯角 (平行線)
alt. $\angle$s, $AB // CD$
三角形外角
ext. $\angle$ of $\Delta$
📝 Step-by-Step 實戰解題 (Mock Q12 & Q14)
題型 1：等腰三角形與內角和 (Mock Q12)
4 marksGiven: $BCD$ is a straight line, $AB = AD$. Find $a$.
因為 $AB = AD$ (已知)，所以 $\Delta ABD$ 是一個等腰三角形。
底角相等：$\angle ABD = \angle ADB = 44^\circ$
(Reason: base $\angle$s, isos. $\Delta$)
In $\Delta ABD$：三個角加起來是 $180^\circ$。
那三個角？ $\angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ$
(Reason: $\angle$ sum of $\Delta$)
$44^\circ + 44^\circ + (65^\circ + a) = 180^\circ$
$88^\circ + 65^\circ + a = 180^\circ$
$153^\circ + a = 180^\circ$
$a = 27^\circ$
題型 2：隱藏的等邊三角形 (Mock Q14)
3 marksGiven: $AED, BCD$ are straight lines. $ACDE$ is an equilateral triangle. Find $x$.
等邊三角形 (Equilateral $\Delta$) 的三個內角全部都是 $60^\circ$。
所以看圖，$\angle CDE = 60^\circ$
(Reason: prop. of equil. $\Delta$)
在大三角形 $\Delta ABD$ 裡，我們已經有三個角：
- $\angle DAB = x$
- $\angle DBA = 82^\circ$ (題目給的)
- $\angle BDA = 60^\circ$ (Step 1 找出來的)
$x + 82^\circ + 60^\circ = 180^\circ$
(Reason: $\angle$ sum of $\Delta$)
$x + 142^\circ = 180^\circ$
$x = 38^\circ$
✅ 考試前自我檢查清單
測試前一天，請確保你能對以下問題打剔！
全部打剔？你已經準備好迎接 UT1 啦！加油！💪